En matemáticas la palabra sucesión en un sentido muy practico al lenguaje usual. Es decir que una colección de objetos o eventos esta en sucesión esto significa generalmente que la colección esta ordenada de manera que tiene un primer miembro, un segundo miembro, un tercer miembro, y así sucesivamente.
Matemáticamente, una sucesión se define como una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. A un que una sucesión es una función, es común representar las sucesiones empleando subíndices en lugar de la notación habitual de la función. Por ejemplo en la sucesión
1, 2, 3, 4, . . . . n, . . .
Sucesión
a1, a2, a3, a4, . . . . a n, . . .
al 1 se le asigna a1, al 2 se le asigna a2, y así sucesivamente. Los números a1, a2, a3… a n … son los términos de la sucesión , y a la sucesión completa se denota por { a n }.
Ejemplo: Dar los términos de una sucesión.
Limite de una sucesión
definición del límite de una sucesión
Sea l un número real. El límite de una sucesión {a n} es L, escrito como:
Lim a n = L
n 00
Si para cada > 0, existe M> 0 tal que│ a n – L │<>M.
Si el límite de L de una sucesión existe, entonces la sucesión convergente L. si el límite de una sucesión no existe, entonces la sucesión diverge.
Teorema I
Limite de una sucesión.
Sea L un número real. Sea f una función de una variable real tal que
Lim f (x) = L
x 00
Si {a n} es una sucesión tal que f(n) =a n para cada entero positivo. n, entonces Lim an = L.
n 00
Teorema II
Propiedades de los límites de sucesiones.
Sea lim a n = L. = Lim bn = k.
n 00 n 00
1. Lim (a n± bn) = L ±k. 2. Lim ca n = cL, c es cualquier num. Real
n 00 n 00
3. Lim (a nbn) = Lk. 4. Lim an = L, = 0 y k = 0
n 00 n→00 bn k
Ejemplo: de análisis de convergencia y diligencia
Ejemplo: De uso de la regla de L Hôpital para determinar La convergencia
Teorema III
Encaje o del emparedado para sucesiones.
si lim a n = L= bn.
n→00
y existe un entero N tal que a n <>N, entonces
lim cn =L
n→00
Ejemplo: Aplicaciones del encaje
Teorema IV
Valor absoluto.
lim |a n| = 0. entonces lim a n = 0.
n→00 n→00
Sucesiones monótonas y acotadas.
Hasta ahora se ha determinado la convergencia de una sucesión encontrando su límite.
Aun cuando no pueda determinarse el límite de una sucesión particular puede ser útil si la sucesión es convergente.
Definición de una sucesión Monótona
Una sucesión (a n) es monótona si sus términos no son decrecientes
a1 <> a2 > a3 > . . . . > a n > . . . .
Ejemplo:
Determina si la sucesión que tiene el término n-ésimo dado es monótona.
a) a n + 3 + (-1)n
Esta sucesión alterna entre 2 y 4.Por tanto no es monótona.
b) bn = 2n
1+n
Esta sucesión es monótona por que cada término sucesivo es mayor que
su predecesor. Para ver esto, compare los términos bn y bn+1. [note que,
como n es positivo se puede multiplicar cada lado de la desigualdad por
(1+ n) y (2+n) Sin invertir el signote la desigualdad.]
Empezando con la última desigualdad, que es válida, se puede invertir los
pasos para concluir que la desigualdad original también es válida.
c) cn = 2n
21-n
Esta sucesión no es monótona, por que el segundo termino es mayor que el
primer termino, y mayor que el tercero. [Note que si se suprime el primer
termino, la sucesión resultante c2, c3, c4… en monótona.]
Nota: en el ejercicio b, otra manera de ver que la sucesión es monótona es argumentando que la derivada de la función derivable correspondiente f(x) =2x/(1+x) es positivo para todo x. Esto implica que f es creciente, lo cual a su vez implica que {an} es creciente.
Definición de una sucesión acotada
1. Una sucesión {a n} es acotada superiormente si existe un numero real M tal que an < M para todo numero de n. El numero M es llamado una cota superior de la sucesión.
2. Una sucesión {a n} es acotada inferiormente si hay un numero real N tal que N < a n para todo n. El número N es llamado cota inferior de la sucesión.
3. Una sucesión {a n} es acotada si lo es está superior e inferiormente.
Una propiedad importante de los números reales es que son completos.
Informalmente, esto significa que no hay huecos en la recta del número real. (El conjunto de números racionales no tiene la propiedad de ser completo.)
El axioma de completitud para los números reales puede usarse para concluir que si una sucesión tiene una cota superior, debe tener una mínima cota superior (una cota superior que es menor que cualquier otra superior de la sucesión)
Ejemplo:
El limite superior de la sucesión {a n} = {n/(n+1)},
1, 2, 3, 4, . . . , n . . . . es 1
2 3 4 5 n+1
Teorema I
Sucesiones monótonas acotadas
Si una sucesión {a n} es acotada y monótona, entonces converge.
Ejemplo: Sucesiones acotadas y monótonas
Serie Infinita:
El estudio de las series infinitas fue considerado toda una novedad en el siglo XIV. El lógico Richard Suiseth, cuyo apodo era el Calculador resolvió este problema.
Si durante la primera mitad de un intervalo de tiempo una variación tiene cierta intensidad, durante el siguiente cuarto la intensidad es el doble, en el siguiente octavo la intensidad en el triple, y así de forma infinita, entonces, la intensidad media durante todo el intervalo será la intensidad de la variación durante el segundo subintervalo.
Esto es lo mismo a decir la suma de las series infinitas
1 + 2 + 3 +. . . + n . . . .
2 4 8 2n
Una aplicación importante de las series infinitas es la representación de “sumas infinitas”, informalmente. Si es una sucesión infinita, entonces
00
∑ a1 + a2 + a3 +. . . + a n +. . . . Series infinitas
n=1
es una serie infinita ( o simplemente una serie).Los números a1, a2, a3, son los términos de la serie. En algunas series es conveniente empezar con el índice n=0 (o algún otro entero).Como convenio de escritura, es común representar una serie infinita simple como ∑ a n. En tales casos, el valor inicial para el índice debe deducirse del contexto establecido.
Para encontrar la suma de una serie infinita, considere la siguiente sucesión de sumas parciales.
S1= a1
S2= a1 + a2
S3=.a1 + a2 + a3
:
Sn= a1 + a2 + a3 +. . . + a n
Si esta sucesión de sumas parciales convergen, se dice que la serie converge y tiene la suma indicada en la definición siguiente.
Serie aritmética y geométrica.
Una serie aritmética o progresión aritmética es una sucesión de números racionales en la que cada termino se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo.
Para indicar el término fijo que se va sumando suele usarse la letra d. Se expresan de la forma an que recibe el nombre de término. n es el indice, e indica la posición que ocupa en la sucesión.
Ejemplo:
d = 3
a1 = 5
a2 = a1 + d = 8
a3 = a2 + d = 11
a4 = a3 + d = 14
Suma de una serie geométrica, es decir, una serie a1 + a2 + a3 + ... en la que los términos forman una secuencia geométrica.
La suma de los primeros n términos se puede obtener de la siguiente manera:
Sn = a1 + a2 + a3 + ...an
= a1 + a1r + a1r2 + ... + a1rn-1
= a1 (rn - 1)/(r - 1)
en la que r es la relación común
Propiedades de las series
La sumatoria tiene unas propiedades que se nombraran a continuación:
1. para n entero positivo y c constante, se cumple
2. Para k entero positivo conjunto de numeros reales y c constante real,se cumple
3. Para k entero positivo conjunto de numeros reales y c constante real,se cumple
4. Para k entero positivo conjunto de numeros reales y c constante real,se cumple
Estas propiedades se deducen de la las leyes asociativa y conmutativa de la adicion.
Convergencia de series
1. ¿tiende 0 el término n-ésimo? Si no es así, la serie diverge.
2.
Series de potencia
Se ve que la aproximación es tanto mayor cuanto mayor es el grado del polinomio
f(x) = ex
Pueden ser representadas, exactamente por medio de una serie infinita llamada serie de potencia
Ejemplo: La representación de serie de potencias para ex es:
ex = 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + . . .
2! 3! n!
Para cada número real x puede mostrarse que la serie infinita a la derecha converge al número ex. Sin embargo, antes de hacer esto se tratan algunos resultados preliminares relacionados con series de potencias, empezando con la definición siguiente.
Definición de series de potencias
Si x es una variable, entonces una serie infinita de la forma
00
∑ a n xn = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +. . . + a n xn +. . . .
n=0
se llama serie de potencias. De manera mas general, una serie infinita de la forma
00
∑ a n (x-c)n = a0 + a1(x-c) + a2x2 + a3(x-c)3 +. . . + a n( x-c)n +. . . .
n=0
se llama serie de potencias centrada en c, donde c es una constante.
NOTA: Para simplificar la notación para series de potencias, se establece que (x-c) o =1, aun cuando x = c.
Ejemplo:
